Voorlopige opzet

Deel 1. Lineaire Algebra

Week 1.

• In het eerste college hebben we een algemene inleiding tot dit vak gegeven en het tentamenreglement besproken. Vervolgens hebben we stelsels van lineaire vergelijkingen beschouwd. Onze doelstelling was: bepaal of een stelsel een (of meerdere) oplossingen heeft en zo ja bepaal al de oplossingen. We hebben Gauss' methode toegepast en bewezen dat op deze manier onze doelstelling is bereikt. De methode van Gauss is een process en in zekere zin dus niet een statische wiskundige grootheid. Onze doelstelling voor de komende twee weken is dus om een wiskundige analyse van stelsels van vergelijkingen te geven en wiskundige statische grootheden vinden die in zekere zin al de informatie die in het eliminatie proces van Gauss ligt besloten weergeven. Deze analyse zal in essentiele mate gebruik maken van matrices en determinanten die wij dan ook in de komende lessen zullen bestuderen. We hebben behandeld : K 7.4 volgens de zevende editie hetgeen overeenkomt met K 6.4 in de achtste editie.
• In het tweede college hebben we matrices gedefinieerd en de elementaire bewerkingen daarop. We hebben onder andere gesproken over de volgende begrippen: matrices en het formaat van matrices (m*n), diagonaal van een matrix, vierkants matrices, matrix optelling en vermenigvuldiging, vermenigvuldiging met een scalar, wetten van matrix optelling en vermenigvuldiging et cetera. Er zijn opgaven gemaakt corresponderend bij deze theorie. Een stencil met opgaven is tijdens het werkcollege uitgedeeld.
• Vectors and matrices, matrix operations, R^n  (K 7.1-7.3)
• Systems of linear equations and their matrix form; homogeneous and nonhomogeneous systems (K 7.4)
• Elementary transformations, bringing a matrix to a staircase (echelon) form (K 7.4)
• General solution of a system of linear equations; analysis of a staircase matrix; Gauss-Jordan elimination (K 7.4, 7.6)

Week 2.

• In het derde college hebben we vooral gesproken over verctor ruimten. Ook hebben we gezien wat vertor ruimten te maken hebben met ons eerste probleem: het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingnen. We hebben gesproken over lichamen (fields), en vectorrmuinten over lichamen. De lichamen waar wij mee werken zijn bijna altijd R of C. We hebben gezien dat er een vector-ruimte (van nu af aan altijd over R) met slechts een element beztaat, de nul ruimte. Ook hebben we gezien dat de nul vector uniek is. Het is niet mogelijk om een verctorruimte te hebben met precies twee elementen (over R). De definitie van basis is gegeven: een volledige en lineair onafhankelijke verzameling vectoren. We hebben een lemma bewezen (wat overigens noch in Lev's aantekeningen, noch in het boek is terug te vinden) dat zegt dat twee bases van een en dezelfde ruimte altijd dezelfde hoeveelheid vectoren bevat. Dit aantal is gelijk aan de dimenssie van de ruimte.
• Het vierde college zal gegeven worden door Lev Beklemiani.
• Linear subspaces of R^n; linear independence; linear span of a set of vectors; dimension of a space (K 7.5)
• Rank of a matrix; equality of column and row ranks; geometric interpretation of rank (K 7.5)
• Basis of a space; the standard basis in R^n; coordinates of a vector in a given basis; changing a basis (K 7.5)
• Kronecker-Capelli theorem; fundamental system of solutions of a homogeneous system of equations (K 7.6, Th.1 and further)

Week 3.

• Inverse matrix; regular matrices are invertible and vice versa; inversion algorithm by elementary transformations (K 7.7)
• Determinants, definition and basic properties (K 7.8, 7.9 Th. 4)
• Linear transformations and  their matrices; linear and bilinear forms; quadratic forms (K p. 419-21,  404, reader)
• Bringing a quadratic form to a diagonal  matrix; positively and negatively definite forms; Sylvester criterium (K p. 412, reader)

Week 4.

• Scalar product of vectors; metric (distance) and its basic properties
• Balls in R^n; open and closed sets; connected sets; vector functions; vector fields
•  Limits of (vector) functions in several variables; continuous functions and their properties

Week 5.

• Total derivative of a function; its geometric interpretation
• Partial derivatives; Jacobi matrix; gradient

Week 6.

• Directional derivatives; their geometric interpretation
• Necessary and sufficient conditions for differentiability

Week 7.

• Derivatives of a composition of functions; chain formula
• Second and higher order derivatives; Taylor formula in several variables

Week 8.

• Maxima and minima; search methods
• An application: pseudoinverse matrix (not included in the exam)